6.4.3.3. 이중 지수 평활법
November 19, 2016
이중 지수 평활법에는 두 개의 상수 매개변수가 있고, 이 방법은 추세를 다루기에 좀 더 적합하다 바로 이전에 본 것처럼, 단일 평활법은 추세가 있는 경우를 다루기에 좋지 않다. 기본 등식과 함께 \( \gamma \)라는 상수를 포함하는 한 가지 식을 더 고려하면 단일 평활법을 개선할 수 있다. \( \gamma \)는 반드시 \( \alpha \)와 함께 사용해야 한다.
아래는 이중 지수 평활법을 나타내는 두 식이다. $$ \begin{align*} S_{t} &= \alpha y_{t} + (1-\alpha)( S_{t-1} + b_{t-1} ) \ , \qquad 0 \le \alpha \le 1 \\ b_{t} &= \gamma ( S_{t} - S_{t-1} ) + (1-\gamma)b_{t-1} \ , \qquad 0 \le \gamma \le 1 \end{align*} $$ 이중 지수 평활법에서 시계열의 현재 값은 평활화한 현재 값을 계산하는데 사용된다.
새로운 예측은 이전 예측에 오차 수정치를 더한 것이다 위의 식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. $$ S_{t+1} = S_{t} + \alpha \epsilon_{t} $$ 여기에서 \( \epsilon_{t} \)는 시기 \( t \)의 예측 오차(실제 - 예측)이다.
다시 말해, 새로운 예측은 이전 예측에 가장 마지막 예측의 오차 수정치를 더한 것이다.
초기값
초기값을 선택하는 몇 가지 방법 단일 평활법 경우처럼 이중 평활법에서도 \( S_{t} \)와 \( b_{t} \) 식의 초기값을 여러 가지 방법으로 정할 수 있다.
일반적으로 \( S_{1} \)은 \( y_{1} \)로 정한다. 아래 3가지 방법 중에서 \( b_{1} \) 을 정하면 좋다. $$ \begin{align*} b_{1} &= y_{2} - y_{1} \\ b_{1} &= \frac{1}{3} \left[ (y_{2} - y_{1} ) + ( y_{3} - y_{2} ) + (y_{4} - y_{3}) \right] \\ b_{1} &= \frac{ y_{n} - y_{1} }{ n - 1 } \end{align*} $$
첨언
평활식의 의미 첫 번째 평활식은 이전 시점의 추세 \( b_{t-1} \)를 이전 평활값에 더하여 이전 시점의 추세에 대해 \( S_{t} \) 를 맞춘다. 이 과정을 통해 뒤처짐을 제거하고 \( S_{t} \)을 현재값에 적절하게 맞춘다.
두 번째 평활식은 마지막 두 값의 차이를 나타내는 추세를 갱신한다. 이 식은 단일 평활의 기본 등식과 비슷하지만, 추세를 갱신하는 부분이 다르다.
비선형 최적화 기법을 사용할 수 있다 \( \alpha \)와 \( \gamma \)값은 마르쿼트(Marquardt) 알고리즘 같은 비선형 최적화 기법을 사용해서 구할 수 있다.