6.4.3.2. 단일 지수 평활법을 이용한 예측

November 19, 2016

예측 식

⊕ 다음 값을 예측하기 기본 등식을 예측 식으로 사용한다. $$ S_{t+1} = \alpha y_{t} + (1 - \alpha)S_{t} \ , \quad 0 < \alpha \le 1, \quad t > 0. $$

⊕ 새로운 예측은 이전 예측에 오차 수정치를 더한 것이다 위의 식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. $$ S_{t+1} = S_{t} + \alpha \epsilon_{t} $$ 여기에서 $ \epsilon_{t} $는 시기 $ t $의 예측 오차(실제 - 예측)이다.

다시 말해, 새로운 예측은 이전 예측에 가장 마지막 예측의 오차 수정치를 더한 것이다.

예측의 재복합

⊕ 재복합 예측(Bootstrapping forecasts) 실제 관측값이 없는데 어떤 시점(보통 가장 마지막 시점)에서 예측하고 싶다면 어떻게 될까? 이러한 상황에서는 위의 예측 식을 다음과 같이 바꿔야한다. $$ S_{t+1} = \alpha y_{origin} + (1-\alpha)S_{t} $$ 여기에서 $ y_{origin} $은 상수이다. 이 기법을 재복합Bootstrapping이라고 부른다.

재복합 예제

⊕ 예제 이전 예제에서 마지막 시점은 70이었고, 예측값(평활화된 값 $ S $)은 71.7이었다. 데이터 값과 예측치를 가지고 있기 때문에, 이전에 사용했던 보통의 등식(재복합 아닌)을 가지고 $\alpha=0.1$인 경우에 그 다음 시점을 예측할 수 있다. $$ \begin{align*} S_{t+1} & = \alpha y_{origin} + (1-\alpha)S_{t} \\ & = 0.1(70) + 0.9(71.7) \\ & = 71.5 \end{align*} $$ 하지만 그 다음 시점 관측 값이 없기 때문에 다음과 같이 계산하자. $$ S_{t+2} = 0.1(70) + 0.9(71.5) = 71.35 $$

재복합 예측과 보통의 예측 방법 비교

⊕ 두 방법을 비교하는 표 다음의 표는 두 방법을 대조하여 보여준다.

시점	재복합 예측	데이터	단일 평활 예측
13	71.50	75	71.5
14	71.35	75	71.9
15	71.21	74	72.2
16	71.09	78	72.4
17	70.98	86	73.0

⊕ 추세를 고려하는 단일 지수 평활 단일 평활(단일 지수 평활을 줄여서)은 추세가 있을 때 그리 좋은 선택은 아니다. 단일 계수 $ \alpha $로만으로는 부족하다.

⊕ 추세가 있는 표본 데이터 $ \alpha=0.3 $로 평활화한 다음 데이터를 살펴보자.

데이터	맞춤
6.4
5.6	6.4
7.8	6.2
8.8	6.7
11.0	7.3
11.6	8.4
16.7	9.4
15.3	11.6
21.6	12.7
22.4	15.4

⊕ 추세가 있을 때 단일 평활법이 적절하지 않다는 것을 보여주는 그래프 결과 그래프는 다음과 같다.

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